Содержание
Введение 3
Основные понятия и определения теории нахождения экстремумов 5
Решение геометрических задач на нахождение максимальных и минимальных величин 11
Решение экстремальных задач геометрическим методом 12
Решение экстремальных задач методами математического анализа 24
Заключение 27
Литература 28

Работа № 4074. Это ОЗНАКОМИТЕЛЬНАЯ ВЕРСИЯ работы, цена оригинала 1000 рублей. Оформлен в программе Microsoft Word.

Оплата. Контакты

Введение
Задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения, они же –задачи на максимум и минимум или, другими словами, задачи на экстремум, являются одними из самых важных не только для самой математики вообще, но и для её приложений. Роль и значение данной темы начали осознавать еще с давних времен, в частности с Древней Греции. На протяжении долгой истории развития математики постоянно возникали различные задачи на экстремум, которые очень часто приводили к созданию новых методов решения, а иногда и к созданию новых разделов математики. На практике это стимулировало математиков находить общие методы решения экстремальных задач. Первый

Advertisement
Узнайте стоимость Online
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Решение задач
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в ВАК
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Копирайтинг
  • Другое
Прикрепить файл
Рассчитать стоимость
такой прием предложил Ферма в 1638 году. Важную роль экстремальных задач так же отмечали такие великие математики как Эйлер Л., Чебышев П.Л., Понтрягин Л.С.
Решения задач на нахождение наибольших и наименьших величин встречаются у всех великих ученых – Евклида, Архимеда и Аполлония. В «Началах» Евклида приводится решение задачи на минимум площади параллелограмма, у которого одна вершина совпадает с вершиной данного треугольника, а остальные лежат на его сторонах. Архимед в сочинении «O шаре и цилиндре» доказал, что среди сегментов шара с заданной боковой поверхностью наибольшим объёмом обладает полушар. Аполлоний в своем труде «Конические сечения» рассмотрел задачу о том «как провести из одной точки к коническому сечению самый длинный и самый короткий отрезок».
Но древнегреческие математики не оставили нам общего метода решения задач на максимум и минимум. Методы, предложенные учеными того времени, были остроумными, использовали неожиданные построения. Но эти мысли и идеи были приспособлены для решения вполне определенной задачи и не могли претендовать на универсальность.
C работ Ферма начинается отсчёт начала теории экстремума. Математический анализ своим созданием во многом обусловлен необходимостью решать задачи на отыскание максимума и минимума.
Так, Г.Ф.Лейбниц первый опубликовал работу по анализу, заглавие которой начинается со слов: «Новый метод нахождения наибольших и наименьших величин…». И Ньютон, и Лейбниц в явном виде формулируют необходимое условие экстремума в некоторой точке, как равенство нулю производной в этой точке.
Теперь понятно, что общие методы решения могли быть созданы только в результате синтеза геометрических и алгебраических методов. Исследование функций с помощью анализа бесконечно малых величин стало одним из мощнейших математических методов и привело к созданию современного математического анализа.
Целью данной работы является изучение двух методов решения геометрических задач на нахождение наибольших и наименьших величин – геометрического метода и с помощью метода математического анализа.
Курсовая работа состоит из введения, трех частей, заключения и списка литературы.
В первой части формируются основные определения, термины и понятия.
Вторая часть посвящена теоретическим вопросам решения задач на экстремум геометрическим методом, и методам математического анализа.
Третья часть посвящена практическому решению геометрических задач на экстремум и состоит из двух разделов. В первом разделе приводятся геометрические методы, во втором разделе – алгебраические методы решения этих задач.
Основные понятия и определения теории нахождения экстремумов
Определение 1.1 (максимум/минимум). Говорят, что функция y=f(x) имеет в точке x0 максимум (минимум), если можно указать такую окрестность ξ (x0 – ξ; x0 + ξ) этой точки, что для всех x ≠ x0 выполняется неравенство f(x)<f(x0) (f(x)>f(x0)).
Максимум или минимум функции называется экстремумом функции. Точка, в которой функция имеет максимум или минимум, называется точкой экстремума функции.
Обозначение max f(x), min (f(x)).
На рис.1 приведен график функции y=f(x) и точки минимума и максимума соответственно.
Рис.1. Точки минимума и максимума
Определение 1.2 (локальный максимум/минимум). Точка M0(x0,y0) называется точкой локального максимума (локального минимума) функции f(x,y), если в некоторой окрестности точки M0 выполняется неравенство f(M0) ≥ f(x,y) (f(M0) ≤ f(x,y)).
В том случае, если в окрестности точки M0 выполняется строгие неравенства f(M0) > f(x,y) (f(M0) < f(x,y)), то точка M0 называется точкой строгого локального максимума (строгого локального минимума) функции.
На рис.2 приведен график функции. Точка x = 1 является точкой локального минимума, точка x = -1 является точкой локального максимума, f(1)=2, f(-1)=-2.
Рис.2. График функции
Очевидно, что для точки локального минимума x = 1 можно указать точки, в которых данная функция принимает значения меньшие, чем f(1)=2.
Аналогичное замечание верно и для точки локального максимума x = -1.
Более того, мы видим, что в точке локального минимума функция принимает значение, большее, чем в точке локального максимума.
Определение 1.3 (глобальный максимум/минимум). Если функция y=f(x) определена на некотором множестве M, то точка M0(x0,y0) называется точкой глобального максимума (глобального минимума), если для всех x ∈ M выполняется условие f(x)>f(M0) ((f(x)<f(M0)). Отметим, что существование локальных точек экстремума не означает существование глобального экстремума.
Например, для уже рассмотренной функции не существует глобального максимума и глобального минимума.
Но ситуация меняется, если рассмотреть непрерывную функцию на замкнутом промежутке [a;b].
Теорема 1.1 (Теорема Вейерштрасса). Пусть функция f(x) непрерывна на от-резке [a;b]. Тогда она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и своего наименьшего значения m, т.е. такие, что для.
Иллюстрации к теореме приведены на следующем рисунке.
Рис.3
Если функция y=f(x) является дифференцируемой на отрезке [a;b], то о задаче нахождения экстремума можно сказать еще больше.
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 1.2 (Теорема Ферма, необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция у = f(х) в точке x0 достигает своего экстремума, то производная этой функции в точке x0 обращается в 0.
f'(x0)=0
В этом случае точка х = х0 называется критической точкой. Геометрически это означает, что касательная к графику функции в точке х = х0 параллельна оси абсцисс (Ox), рис. 4.
Рис.4
Теорема Ферма выражает необходимое условие локального экстремума. Но равенство нулю производной не является достаточным ля существования локального экстремума. Теорема Ферма позволяет лишь найти точки, «подозрительные» на экстремум. Будет ли «подозрительная» точка х0 точкой экстремума и, если будет, то какого именно типа (максимума или минимума), зависит от значений, принимаемых в достаточной близости слева и справа от точки х0 производной функции.
Теорема 1.3 (Достаточное условие экстремума). Пусть функция у = f(х) не-прерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой окрестности (a;b), кроме быть может самой х0. Тогда данная точка будет являться точкой экстремума, если при переходе через эту точку, производная меняет знак, при чем:
а) если f'(x)<0 на интервале (a; х0), и f'(x0)>0 на интервале (x0;b), т.е. производная меняет знак с минуса на плюс, то точка x0 будет являться точкой минимума функции f(х);
б) если f'(x)>0 на интервале (a; х0), и f'(x0)<0 на интервале (x0;b), т.е. производная меняет знак с плюса на минус, то точка x0 будет являться точкой максимума функции f(х);
Все возможные случаи можно записать в следующей таблице.
Δх>0 х0-Δх х0 х0+Δх Поведение функции f(x)
Табл.1
Исследовать функцию на экстремум можно и используя понятие второй производной. В случае максимума с возрастанием х и при переходе через значение х0 производная убывает, поэтому производная от этой производной (т.е. производная второго порядка) отрицательна. В случае минимума производная при переходе х через х0 возрастает, а значит, производная второго порядка положительна. Поэтому, если в критической точке х0 производная второго порядка f »(x0) отрицательна, то в этой точке данная функция имеет максимум, если же f »(x0) положительна, то функция принимает минимальное значение.
В некоторых случаях производная функции y=f(x) в некоторой точке x=a может не существовать, в то время как функция f(x) определена и непрерывна в этой точке. В этом случае необходимо поступить так же, как описано выше.
Рассмотрим кратко нахождение экстремума для функции двух перемен-ных.
Пусть дана функция двух переменных z=f(x,y). Вычислим производные и , называемые частными производными первого порядка.
Найдем решение системы уравнений
Пусть — решение этой системы, называемое критической точкой. Чтобы понять характер поведение функции в этой точке, необходимо использовать частные производные второго порядка.
Пусть ,.
Тогда поведение функции в критической точке определяется следующей таб-лицей:
Знак числа A Знак числа
Характер поведения функции в критической точке
+ + минимум
— — максимум
— Нет ни минимума,
ни максимума
Табл.2
Решение геометрических задач на нахо-ждение максимальных и минимальных ве-личин
При решении геометрических задач на нахождение максимальных и минимальных величин приходится пользоваться некоторыми очевидными фактами, которые можно считать элементарными экстремальными утверждениями. К числу таких фактов относятся следующие утверждения:
А) кратчайшее расстояние между двумя точками на плоскости равно длине отрезка, соединяющего эти точки.
Следствием этого факта является известное из элементарной геометрии неравенство треугольников.
Б) кратчайшее расстояние на плоскости между заданными точкой и прямой равно длине перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.
К сожалению, не существует общего геометрического метода решения задач на нахождение максимальных и минимальных величин. Поэтому приходится придумывать различные приемы, которые бы сводили решение задачи к применению утверждений А) и Б).
Решение экстремальных задач геометрическим методом
Например, рассмотрим известную задачу Герона.
Задача 1. Дана прямая с и две точки А и В, не лежащие на этой пря-мой. Требуется найти такую точку С на прямой c, чтобы сумма расстояний АС + СВ была наименьшей.
Решение. Рассмотрим сначала случай, когда точки A и B лежат по разные стороны от прямой c (рис. 4, а).
Очевидно, что в этом случае искомой точкой C является точка пересечения отрезка AB и прямой c.
Рис.4
Для любой другой точки C’ прямой c будет выполняться неравенство AC + CB < AC’ + C’B и, следовательно, сумма AC + CB будет наименьшей. Доказательство непосредственно следует из неравенства треугольника.
Задача 2. Дана прямая с и две точки А и В, лежащие по разные стороны от этой прямой. Требуется найти такую точку С на прямой c, чтобы модуль разности |АC – CВ| был наибольшим.
Решение. Идея решения этой задачи такая же, как и в задаче Герона. А именно, из точки В опустим на прямую с перпендикуляр ВН и отло¬жим отрезок НВ’, равный ВН (рис.5). Прямая c будет серединным перпендикуляром к отрезку BB’ и, следовательно, для произвольной точки С’ на прямой с будет выполняться равенство С’В = С’В’. По¬этому разность АС’ – С’В будет наибольшей тогда и только тогда, когда наи¬большей будет равная ей разность АС’ – С’В’. Последняя разность всегда меньше или равна AB’ и, следовательно, она принимает наибольшее значение в случае, если имеет место равенство АС’ – С’В’ = AB’. Это происходит, если точки А, В’, С’ лежат на одной прямой, т.е. ис¬комая точка С является точкой пересечения отрезка АВ’ с прямой с.
Рис.5
Метод, использованный при решении задачи Герона, может быть применен и для решения других задач. Рассмотрим некоторые из них.
Задача 3. Внутри угла со сторонами a и b даны точки C1 и C2. Требуется найти такие точки A и B на сторонах этого угла, чтобы длина ломаной C1ABC2 была наименьшей.
Решение. Обозначим через , точки симметричные точкам C1, C2 соответственно, относительно прямых a, b (рис. 6).
Рис.6
Пусть A и B – точки пересечения прямой C1’C2’ со сторонами угла. Тогда C1A + AB + BC2 = C1’A + AB + BC2’ = C1’C2’. Для любых других точек A’, B’ на сторонах угла имеем: C1A’ + A’B’ + B’C2 = C1’A’ + A’B’ + B’C2’ > C1’C2’. Последнее неравенство выполняется, так как длина ломаной больше длины отрезка, соединяющего ее концы. Следовательно, точки A и B являются искомыми точками, для которых длина соответствующей ломаной наименьшая.
Задача 4. Внутри угла со сторонами a и b дана точка C. Требуется найти такие точки A и B на сторонах этого угла, чтобы периметр треугольника ABC был наименьшим.
Решение. Ясно, что эта задача получается из предыдущей, если положить C1 = C2 = C. Решение показано на рисунке 7, в котором точки C’, C” симметричны точке C относительно прямых a, b соответственно.
Рис.7.
Рассмотрим вопрос о том, в каком случае существует решение этой и преды-дущей задач. Дело в том, что прямая C’C” может не пересекать стороны угла. Выясним, в каких случаях это может происходить.
Обозначим через O вершину угла и соединим ее отрезками с точками C’, C” и C (рис.7, а). Тогда C’OH’ = COH’, C”OH” = COH” и, следовательно, C’OC” = 2 H’OH”.
Рис.8
Если данный угол острый, то угол C’OC” меньше развернутого и, следовательно, прямая C’C” пересекает стороны угла и, следовательно, задача имеет решение.
Если данный угол прямой (рис. 8, б), то угол C’OC” – развернутый и, следовательно, прямая C’C” проходит через вершину O угла. В этом случае задача не имеет решения. Какие бы точки A и B на сторонах угла мы не взяли, существуют точки A’, B’, для которых периметр соответствующего треугольника меньше.
Если данный угол тупой (рис. 8, в), то угол C’OC” – больше развернутого и, следовательно, прямая C’C” не имеет общих точек со сторонами угла. В этом случае задача также не имеет решения. Какие бы точки A и B на сторонах угла мы не взяли, существуют точки A’, B’, для которых периметр соответствующего треугольника меньше.
Задача 5. Найдите путь по поверхности единичного куба ABCDA1B1C1D1 из вершины A в вершину C1 наименьшей длины (рис. 9, а).
Рис.9
Решение. Рассмотрим развертку двух граней куба (рис. 9, б). Путь по поверхности куба перейдет в путь по развертке. Ясно, что наименьшая длина достигается в случае, если путь представляет собой отрезок, соединяющий точки A и C1. Этот путь проходит через середину ребра A1B1. Если ребро куба равно 1, то длина кратчайшего пути равна. Заметим, что найденный кратчайший путь не единственен. Такую же длину имеют пути, проходящие через середины ребер BB1, BC, CD, DD1 и A1D1.
Задача 6. На ребре куба сидит муха. Она хочет проползти по каждой его грани и вернуться в исходную точку. Укажите кратчайший путь мухи и найдите его длину, если ребро куба равно 1.
Решение. Воспользуемся разверткой куба (рис. 10). Точки A и B представляют одну и ту же точку на ребре куба. Кратчайшим путем, их соединяющим, является отрезок AB. Его длина равна.
Рис.10
Все рассмотренные задачи 1-6 объединены одной идеей. При помощи дополнительных построений или преобразований задача сводится к тому, чтобы найти кратчайшее расстояние между некоторыми двумя точками.
Одним из методов решения экстремальных задач является метод, кото-рый в литературе называют методом преобразования плоскости.
Суть этого метода заключается в следующем.
Пусть требуется найти экстремум величины х фигуры F, однозначно определяемой элементами x и
Для этого выполним следующие шаги:
1) Элементу х придадим определенное значение х = С и решим задачу на по-строение фигуры F по заданным элементам x и
2) Решив эту задачу, будем полагать, что элемент x претерпевает небольшое изменение, т.е. меняет свое значение или положение, или одновременно меня-ется и значение, и положение. Затем, пытаясь повторить решение задачи, замечаем те особенности, которые возникают при достижении элементом х максимального или минимального значения.
Выделение указанной особенности позволяет сделать заключение об экстремуме элемента х фигуры F.
Рассмотрим применение этого метода на примере решения конкретной задачи.
Задача 7. Найти наибольшее значение длины стороны правильного треугольника, размещенного в единичном квадрате.
Решение. Назовем правильный треугольник с наибольшей стороной, поме-щающийся в единичном квадрате, максимальным.
Очевидно, что вершины максимального треугольника ABC должны ле-жать на сторонах квадрата. Если какая либо вершина, например C, лежит внутри квадрата, то треугольник ABC можно немного подвинуть в направлении, перпендикулярном противоположной стороне, а затем пропорционально увеличить его стороны. Получим треугольник A’B’C’ (рис. 11, а) с большей стороной, помещающийся в квадрате.
Покажем, что одна из вершин максимального треугольника должна совпадать с вершиной квадрата. Если это не так, то на одной из сторон квадрата нет вершин треугольника (рис. 11, б). Тогда треугольник ABC можно немного повернуть вокруг вершины A, а затем пропорционально увеличить его стороны.
В результате получим треугольник, помещающийся в квадрате и имею-щий большую сторону. Пусть теперь вершина C треугольника ABC совпадает с вершиной единичного квадрата (рис. 11, в), а сторона треугольника равна x.
Рис.11
Тогда AD = , AE = 1- , AB =. Следовательно, x должно удовлетворять уравнению x = , решая которое, находим x =.
В некоторых случаях бывает целесообразно предварительно доказать единственность решения рассматриваемой экстремальной задачи.
Например, рассмотрим задачу, предлагавшуюся на Межвузовской олимпиаде школьников в 2012г.
Задача 7. На одной из сторон угла с вершиной O взяты точки A и B, а на другой точка С. При какой длине отрезка ОС величина угла АСВ максимальна, если ОА=1, ОВ=5?
Рис.12
Решение. Докажем вначале, что искомая точка С — единственная.
Действительно, если бы существовала бы еще одна точка C’, то тогда вокруг четырехугольника АСС’В можно было бы описать окружность. Но тогда для любой точки D, лежащей на отрезке СС’ и не совпадающей с С и С’, угол ADB будет больше угла ACB. Противоречие. Следовательно, точка С — единственная. Но тогда ОС – касательная к окружности, проходящей через точки A,B и С.
Но тогда ОС2=. Следовательно, OC=.
Такой метод решения экстремальных задач, основанный на обосновании единственности искомого решения, во многих случаях бывает очень эффективным.
Рассмотрим еще одну важную и интересную задачу, называемую изопериметрической задачей, или задачей Дидоны.
Задача 8. Среди всех простых замкнутых кривых, данной длины найти кривую, ограничивающую фигуру наибольшей площади.
С именем Дидоны она связывается легендой, согласно которой финикийская царевна Дидона в IX веке до н. э., спасаясь от преследователей, заключила договор на покупку земли на побережье нынешнего Тунисского залива Средиземного моря с местным предводителем Ярбом. Она попросила столько земли, сколько можно окружить бычьей шкурой. Сделка состоялась, и тогда Дидона разрезала шкуру быка на тонкие тесемки, связала из них веревку, окружила ей довольно большую территорию и основала на ней крепость.
В связи с этим возникла задача: какую форму должна иметь территория, ограниченная веревкой, чтобы ее площадь была наибольшей?
Математик Якоб Штейнер в 30-х годах XIX века дал пять доказательств, но в каждом из них подразумевалось существование такой кривой. Мы рассмотрим одно из доказательств Штейнера. Доказательство существования представляет отдельную и не очень простую задачу.
Докажем, что среди простых замкнутых кривых заданной длины наибольшую площадь охватывает окружность.
Доказательство разобьем на несколько этапов. Для краткости фигуру, ограниченную кривой, данной длины, имеющую наибольшую площадь, будем называть максимальной.
Лемма 1. Максимальная фигура является выпуклой.
Доказательство. Предположим противное. Предположим, что фигура Ф не выпукла. Тогда существует хорда АВ, концы которой лежат на кривой, а внутренние ее точки — вне кривой (рис. 12). Найдем фигуру Ф’ с тем же периметром, но большей площади.
Рис.12 Рис.13
Тем самым будет показано, что фигура Ф не является максимальной.
Заменим дугу исходной кривой, соединяющую точки А, В, на сим-метричную ей дугу относительно прямой АВ. Соответствующая ей фигура Ф’ будет ограничена кривой той же длины, но будет иметь большую площадь по сравнению с исходной. Следовательно, исходная фигура не максималь¬ная.
Лемма 2. Если хорда делит кривую, ограничивающую максимальную фигуру на две части равной длины, то она и фигуру делит на две равновеликие час¬ти.
Доказательство. Пусть хорда АВ делит кривую на две части равной длины (рис. 13). Предположим, что площади образовавшихся частей Ф1, Ф2 фигуры Ф не равны, например, S(Ф1) > S(Ф2). Построим фигуру Ф’ того же самого периметра, но большей площади. Для этого в фигуре Ф заменим фигуру Ф2 на фигуру, симметричную Ф1 относительно прямой АВ. Получен-ная фигура Ф’ будет ограничена кривой той же длины, но будет иметь боль-шую площадь по сравнению с исходной. Следовательно, исходная фигура не максимальная.
Лемма 3. Максимальная фигура ограничена окружностью.
Доказательство. Пусть хорда АВ делит кривую, ограничивающую макси-мальную фигуру Ф на две части равной длины (рис. 14, а). Тогда она делит фигуру Ф на две части равной площади. Если кривая не окруж¬ность, то на ней найдется точка С, для которой АСВ 90о. Предположим, например, что точка C принадлежит верхней части фигуры Ф. Построим новую фигуру Ф’.
Рис. 14
Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник А’В’С’ с прямым углом С’, у которого А’C’ = АC, В’С’ = ВС. Площадь треугольника А’В’С’ больше площади треугольника ABC. Действительно, площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними, а синус принимает наибольшее значение, равное единице, если угол равен 90. Для остальных углов больших 0 и меньших 180 синус меньше единицы.
Присоединим к катетам треугольника А’В’С’ соответствующие части Ф1’ и Ф2’, равные соответственно частям Ф1 и Ф2 исходной фигуры (рис. 14, б). Полученную фигуру отразим симметрично относительно А’В’. Фигура Ф’, состоящая из обеих этих частей будет искомой. Ясно, что она ограничена кривой той же длины. Однако, т.к. площадь треугольника А’В’С’ больше площади треугольника АВС, то площадь верхней части фигуры Ф’ будет больше площади верхней части фигуры Ф. Аналогично, площадь нижней части фигуры Ф’ будет больше площади нижней части фигуры Ф. Таким образом, площадь всей фигуры Ф’ будет больше площади исходной фигуры Ф. Следовательно, исходная фигура не максимальна. Тем самым решение задачи Дидоны завершено.
Решение экстремальных задач методами математического анализа
С созданием дифференциального исчисления наступила новая эпоха в решении экстремальных задач. Теперь в руках математиков появился очень мощный инструмент, позволяющий решать разнообразные экстремальные геометрические задачи по одному алгоритму. Суть этого алгоритма заключается в следующем: искомую величину выражают в виде функции от какого либо параметра или нескольких параметров геометрической задачи. Затем, используя порядок нахождения максимума или минимума функции с помощью производной, определяют экстремальное значение искомой величины.
Выбор параметров, от которых будет зависеть искомая величина, не является однозначным и во многом зависит от интуиции и опыта решающего. Например, рассмотрим следующую задачу (изопериметрическая задача для прямоугольного треугольника).
Задача 9. Среди всех прямоугольных треугольников заданного периметра P найти треугольник наибольшей площади.
Решение. Обозначим один из катетов прямоугольного треугольника через x.
Пусть другой катет равен b. Тогда гипотенуза треугольника будет равна P-b- x.
Из теоремы Пифагора получим
(P-b- x)2=x2+b2.
Получим P2-2(b+ x)P+b2 +2bx+x2= x2+b2.
Выразим b через x.
Найдем теперь площадь треугольника.
Получили функциональную зависимость площади треугольника от длины катета. Найдем производную от функции. Получим:
Из равенства получим:
Нетрудно проверить, что максимальное значение функции S(x), будет дости-гаться в точке. Другой катет будет иметь длину равную. Таким образом, искомый треугольник является равнобедренным прямоугольным треугольником.
В данном решении в качестве параметра, через который выражалась площадь треугольника, был взят x – длина одного из катетов.
Попробуем решить задачу другим способом.
Пусть α – один из острых углов треугольника, с- длина гипотенузы. Тогда катеты имеют длину и. Получим.
Площадь будет равна
Из равенства получим
Следовательно,. Таким образом, и в этом случае сделаем тот же вывод: искомый треугольник является равнобедренным прямоугольным треугольником.
Мы видим, что выбор различных параметров приводит к различным функциям. В некоторых случаях это обстоятельство может существенно усложнить или упростить решение задачи.
Рассмотрим теперь пример применения дифференциального исчисления функций нескольких переменных.
Задача 10. Среди прямоугольных параллелепипедов заданного объема V найти тот, который имеет наименьшую полную поверхность P.
Решение. Пусть взаимно перпендикулярные ребра прямоугольного параллелепипеда имеют длину x, y и z. Тогда V=xyz. Площадь полной поверхности равна.
Выразим z через остальные переменные. В результате получим
Вычислим частные производные и :
Приравнивая эти частные производные к нулю, получим систему уравнений
Решая эту систему, получим. Но тогда. Таким образом, искомым параллелепипедом является куб.
Заключение
Литература
7. Тихомиров В.М. Рассказы о максимумах и минимумах. – М.: Наука. Гл. ред, физ.-мат. лит., 1986.
8. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3т. Т.1 / пред. и прим. А.А. Флоринского. – 8-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
9. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Часть 2. Геометрия (Планиметрия). – М.: Госу-дарственное издательство технико-теоретической литературы, 1978.